书·纪

3.5 浮点运算

有关计算机中浮点运算的部分,涉及IEEE 754标准
博客的公式差点挂了……

在计算机中,使用科学计数法表示二进制数

$1.0_{2(底数F)} \times2^{-1(指数E)}$

规格化二进制数

即小数点左边只有一位的使用科学计数法表示的实数,如
$$1.23 \times 10^{-2}$$
这样就不是规格化的二进制数:
$$12.3 \times 10^{-3}$$
在计算机中,浮点数以规格化二进制数表示

3.5.1 浮点表示

单精度浮点的二进制

一般浮点数的表示
$$(-1)^s \times F \times 2^E$$
表示范围:
$$2.0_{10}\times 10^{-38} \sim2.0_{10}\times 10^{38} $$

关于浮点数的溢出:

  • 上溢(overflow) 指数太大而不能在指数域内表示
  • 下溢(underflow)副指数太大而不能在指数域中表示

单精度与双精度

  • 单精度(single precision)浮点数由一个32位字表示
  • 双精度(double precision)浮点数由两个32位字表示

    双精度字占用两个32位字,由
    符号位s 11位指数域, 52位尾数域构成

    双精度浮点的二进制
    可表示
    $$2.0_{10}\times 10^{-308} \sim2.0_{10}\times 10^{308} $$

IEEE 754浮点标准

IEEE 754浮点标准是通用标准,通用语1980年后的每台计算机

隐藏了规格化二进制数的前导位1

因为在规格化数中,前导位肯定是非0位,而在二进制数中,非零位只有1,也就是说前导位必为1,所以完全可以隐藏掉

这样,可以为表示范围腾出更多空间

所以,单精度下,数有24(1+23)位宽

双精度下,数有53(1+53)位宽
$$(-1)^s \times (1+F)\times 2^E$$
向十进制转换:
$$(-1)^s \times [1+(s_1\times 2^{-1})+(s_2\times 2^{2})+(s_3\times 2^{-3})+(s_4\times 2^{-4})+\cdots]\times 2^E$$

IEEE 754浮点数标准还定义了一些其他的数学表述,比如$\pm \infin$,$\rm NaN$

IEEE&%e

$\rm NaN$ (Not A Number)可用于表示无效操作,可表示数学上的“不存在”(我不确定),用于让
程序员推迟程序中的一些测试和决定

使用符号位和数值的形式表示(而不是补码),便于快速进行整数比较

IEEE 754 带偏阶(biased notation)的计数法

目的
- 最小的负指数表示为 $000\cdots0000_2$
- 最大的正指数表示为 $111\cdots1111_2$

若采用补码形式,负指数看起来似乎是一个大得多的数

简而言之,偏阶就是给指数加上另一个数(偏阶),使他成为易于比较的(无符号)正整数

单精度的指数偏阶是127,
- 如指数为-1,则指数位为 $-1 + 127_10 = 126_10 = 0111\ 1110_2$

双精度的指数偏阶是1023,

综上所述,单精度的IEEE 754完整表示是
$$(-1)^s \times (1 + \rm Fraction)\times 2^{(Exponent - Bias)}$$
- Fraction 尾数
- Exponent 指数
- Bias 偏阶

例:使用浮点表示 $-0.75_{10}$
$$-0.75_{10} = -\frac{3}{4_{10}} = -\frac{3}{2^2_{10}}\\,\二进制小数形式:\qquad -\frac{11_2}{2_2^{10}} 或 -0.11_2\\,\科学计数法:\qquad-0.11\times2^0\\,\规格化计数:\qquad -1.1_2\times2^{-1}\\,\$$
所以,$-0.75_{10}$得单精度二进制格式为:

3.5.2 浮点加法

在浮点数计算中,浮点加法比浮点乘法复杂,因为存储的是规格化数,需要对齐小数点,而乘法不用对齐。

浮点加法,简单来说分为以下4步
1. 将有较小指数的数向较大指数对齐
2. 将有效数相加
3. 将结果调整为规格化科学计数的形式(同的检查指数上溢和下溢)
4. 根据精度要求进行舍入,若舍入后为非规格化科学计数形式,则返回3.

以下是在原书给出得算术单元结构上做的笔记:

3.5.3 浮点乘法

浮点乘法相对直观

  1. 处理带偏阶的指数
    $$s = (s_1 - 127) + (s_2 -127) + 127 = s_1 + s_2 - 127$$
  2. 计算有效数的乘法
  3. 规格化积
  4. 舍入
  5. 得符号,同号为正,异号为负

3.5.4 MIPS中的浮点指令

可以参见资料,不再赘述

3.5.5 算术精确性

IEEE 754标准中规定了确保算术精确性的方法:
在计算过程中在右侧增加保护位和舍入位

  • 保护位:在浮点数的中间计算中,在右边多保留的两位中的首位,用于提高舍入精度
  • 舍入位:在浮点数的中间计算中,在右边多保留的两位中的第二位, 使浮点中间结果曼珠浮点格式,得到最接近的数

这是书中的一个例子,不方便打出来,就直接贴图了:

结果可以看到,采用保护位得到的结果是2.37,不采用保护位得到的结果是2.36,实际结果更接近前者。这说明了保护位的作用。可以联系一下我们做数学题的时候按要求四舍五入,总要往后算两位。

衡量浮点的精确性通常用尾数最低位(ulp)上有多少位的误差来衡量

IEEE 754 保证了计算机使用的数在半个ulp以内.

IEEE 754的舍入模式

  • 向上舍入(向$+\infin$)
  • 向下舍入(向$-\infin$)
  • 截断舍入
  • 向最近的偶数舍入

对于 0.5的情况,IEEE 754的做法是:如果最后一位是奇数,就+1;如果是偶数,就截去。

粘贴位

舍入位左边的数非零时置1,可让计算机区分 $0.50\cdots000_{10}$和$0.50\cdots001_{10}$

3.5.6 小结

IEEE 754标准浮点表示
$$
(-1)^s \times (1 + \rm Fraction)\times 2^{(Exponent - Bias)}
$$

(0)

本文由 橙叶博客 作者:FrankGreg 发表,转载请注明来源!

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