传输线理论的实质(《射频电路设计——理论与应用》(第二版)笔记)

Posted by 橙叶 on Tue, Nov 22, 2022

传输线理论的实质

频率的提高意味着波长的减小,对于射频电路来说,随之而来的是,当波长可与分离电路元件的几何尺寸相比拟时,电压和电流都将随着空间位置不同而变化,即必须把它们看成传输的波,在这种情况下,即使一个负载为0欧姆的传输线也可能在某个频率下呈断路状态。因为基尔霍夫电压和电流定律都没有考虑到这种空间变化,所以不再适用。

电压波表达式: $$ V(z, t) = V_0 \sin(\omega t - \beta z) $$ 电压波沿z轴的正方向传播。

电压波的恒定相速度: $$ v_p = \frac{\omega}{\beta} = \lambda f = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}} $$ $\epsilon_r, \mu_r$是介质参数,$\lambda$为波长。

当频率$f=1\rm MHz$时,波长为$94.86\rm m$,此时相对于通常电路的尺度来说,电压随空间位置的变化还不明显。但当频率达到$10\rm GHz$时,波长降低到了0.949cm,此时显然无法再忽略。

虽然在一个长的传输线上存在如上的问题,但是可以将传输线均匀地分为无数个非常短的线元,对于每个小的线元,可以假设电压和电流保持恒定值。

传输线的定义:

对于传输线的一个小线元,长度为$\Delta z$。可以等效出这个小线元的电路模型。

在一个非常小的$\Delta z$上,就可以忽略电流和电压在电路上的空间分布。

在小线元上使用基尔霍夫电压定律 $$ (R + j\omega L)I(z)\Delta z + V(z +\Delta z) = V(z) $$ 使$\Delta z$趋近于0。 $$ \lim_{\Delta z \to0}(- \frac{V(z + \Delta z) - V(z)}{\Delta z} )= - \frac{\mathrm{d}V(z)}{\mathrm{d} z} = (R+j\omega L)I(z) $$ $\frac{\mathrm{d}V(z)}{\mathrm{d} z}$表示了单位长度上的电压压降。

在a点: $$ I(z) - V(z + \Delta z)(G +j\omega C)\Delta z = I(z + \Delta z) \\ \lim_{\Delta z \to 0}\frac{I(z + \Delta z) - I(z)}{\Delta z} = \frac{\mathrm{d}I(z)}{\mathrm{d}z} = -(G+j\omega C)V(z) $$ $$\frac{\mathrm{d}I(z)}{\mathrm{d}z}$$表示了单位长度上电流的分流。

其中$C, L, G, R$都取决于传输线本身的材质、结构等因素。

为了分别导出线元对电压、电流的影响,对上面得到的两个微分式两边求导,再彼此代入,得到两个分别关于电压、电流的微分方程: $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 V(z)}{\mathrm{d} z^2} - \gamma^2V(z) = 0 \\ \frac{\mathrm{d}^2 I(z)}{\mathrm{d} z^2} - \gamma^2I(z) = 0 \\ \end{aligned} $$ 其中,$\gamma=\alpha + j\beta = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$ 称为传播常数,由传输线本身的特性决定。$\alpha$称为衰减系数,$\beta$称为相位系数。

解微分方程,得到 $$ \begin{aligned} V(z) &= V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{+\gamma z} \\ I(z) &= I^+ e^{-\gamma z} - I^- e^{+\gamma z} \end{aligned} $$ 其中$V^+, V^-, I^+, I^-$是与线元无关的常数,它们就是所谓的入射波(+)和反射波(-)。这两个方程描述了电压和电流波在传输线上随距离增加而产生的衰减情况。

由 $$ \begin{aligned}

  • \frac{\mathrm{d}V(z)}{\mathrm{d} z} &= (R+j\omega L)I(z) \\ V(z) &= V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{+\gamma z} \end{aligned} $$ 得到 $$ I(z)= \frac{\gamma}{R+j\omega L}(V^+ e^{-\gamma z} - V^- e^{+\gamma z}) $$

最终得到$V(z)$与$I(z)$之比:$Z_0$,也就是这条传输线的特性阻抗: $$ Z_0 = \frac{R+j\omega L}{\gamma} = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}} $$

当电压和电流从这个线元经过时,对于无损耗的传输线,则对电压和电流都会分别产生延时作用,如果延时相同就不会造成相位差,但是会造成相速度的降低,如果对电压和电流产生相同的延迟,总体上只是波的传播速度减慢了。对于有损耗的传输线,则会有一部分功率耗散在电阻和电导上。

既然是无损耗传输线,为什么还会有一个看起来像纯电阻的特性阻抗?(比如$50\Omega$的阻抗值)

对于无损耗传输线,(在多数情况下,都可以认为所使用的传输线是无损耗的),$R=G=0$ $$ \gamma = \alpha + j\beta = j\omega \sqrt{LC} $$ 其中$\alpha = 0, \beta = jw\sqrt{LC}$, $$ V(z) &= V^+ e^{-\beta z} - V^- e^{+\beta z} \\ I(z) &= I^+ e^{-\beta z} - I^- e^{+\beta z} $$ 在原有的电路里,只剩下了电感和电容,或者说是电抗性和电容性,它们都不消耗能量只短暂地存储能量,因此造成的分流和或压降都会在稍后释放为反向的电流和反向的压降(电压)。

总的来说,如果要在设计上做好50Ω的“阻抗匹配”,在低频的时候不需要考虑太多导体本身的性质产生的影响(也就是只需要考虑集总参数),当一个网络接入进来时,从信号源端看去,新加入的网络连同它的负载仍然表现为50欧姆的阻抗值,从负载看去,新加入的网络连同信号源都表现为50欧姆的阻抗值,这样便可以称作匹配了。



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